PROFESSORA MIRLEY - PROFESSORA SILMARA - PROFESSORA SIMONE
MATEMÁTICA – 9ºs A /B /C /D
3ª ATIVIDADE – 2º BIMESTRE
REFERENTE AO PERÍODO DE 22/05 à 26/06/2020
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Habilidade: EF09MA03- Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
CÁLCULO COM NÚMEROS REAIS
Radiciação
A radiciação, assim como todas as operações do conjunto dos números reais, possui seu inverso, ou seja, quando pegamos um elemento e operamos com seu inverso, o resultado é igual ao elemento neutro.
A adição possui a subtração como operação inversa, a multiplicação possui a divisão como operação inversa, e a potenciação também vai possuir sua operação inversa, que é denominada de radiciação.
Como as demais operações, a radiciação também possui uma série de propriedades, vejamos.
Representação da radiciação
A radiciação é uma operação em que buscamos um
número que satisfaz determinada potência.
Considere os números a e b números reais e n um
número racional, definimos a raiz n-ésima de a como
sendo um número que, quando elevado a n, seja igual
ao número a, nesse caso, representado por b, ou seja:
Exemplos
a) A raiz quadrada de 36 é igual a 6, pois 62 = 36.
Veja que, para determinar a raiz quadrada de 36, devemos buscar um número que, quando elevamos ao quadrado, seja igual a 36. Logicamente, esse número é o 6.
b) A raiz cúbica de 125 é igual 5, pois 53 = 125.
c) Agora vejamos a raiz décima de 1024. Como não se trata de um número trivial, a melhor saída é realizar a decomposição em fatores primos do 1024 e, em seguida, escrevê-lo na forma de potência.
Veja que o número 1024 = 210, assim o número que, elevado a 10º potência, resulta em 1024 é o número 2, ou seja:
Nomenclatura da radiciação
Considerando a raiz n-ésima anterior, temos a seguinte
nomenclatura:
a → Radicando
n → índice
b → raiz
√ → Radical
Propriedades da radiciação
Assim como na potenciação, temos algumas propriedades na radiciação. Nesta a história é a mesma, uma vez que ambas são operações inversas.
Propriedade 1: Raiz em que o expoente do radicando é igual ao índice
A propriedade 1 afirma que, sempre que o índice for igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz n-ésima é a própria base.
Exemplos
Propriedade 2: Potência de expoente radical
A propriedade 2, na verdade, é uma propriedade de potenciação em que o expoente é uma fração. O numerador da fração passa a ser o expoente do radicando, e o denominador passa a ser o índice da raiz.
Veja um exemplo:
Propriedade 3: Produto de raízes de índices iguais
A propriedade 3 afirma que o produto entre duas raízes com índices iguais é igual à raiz de mesmo índice do produto dos radicandos.
Propriedade 4: Quociente de raízes de índices iguais
De maneira análoga à propriedade 3, a propriedade 4 afirma que a divisão entre duas raízes de índices iguais é igual à raiz de mesmo índice da divisão dos quocientes.
Propriedade 5: Potência de uma raiz
A propriedade 5 diz-nos que uma raiz n-ésima elevada a um determinado expoente m é igual à raiz n-ésima do radicando elevado ao expoente.
Propriedade 6: Raiz de outra raiz
Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta conservar o radicando e multiplicar os índices das raízes.
Propriedade 7: Simplificação de raízes
A propriedade 7 afirma que, em uma raiz n-ésima de uma potência, podemos multiplicar o índice e o expoente do radicando por qualquer número desde que seja diferente de 0.
Operações com radicais
As operações com radicais, envolvendo adição e subtração, são solucionadas identificando os radicais semelhantes e operando os coeficientes.
Para realizar operações com radicais na adição e na subtração devemos, primeiramente, verificar se os radicais são semelhantes. Para que o radical de duas ou mais raízes sejam semelhantes é preciso que o índice e o radicando sejam idênticos, a única parte que pode ser diferente é o coeficiente que acompanha o radical.
1º caso: Radicais semelhantes
Fazemos como na redução de termos semelhantes de uma soma algébrica.
Exemplos:
2º caso: Radicais semelhantes após simplificação
Depois de obter radicais semelhantes, fazendo a decomposição em fatores primos, procedemos como no 1º caso.
3º caso: Os radicais não são semelhantes
Extraímos as raízes e efetuamos as operações.
Simplificação de Radicais
Os cálculos da radiciação podem ser simplificados através de algumas mudanças em seus radicais. Vejamos como funciona:
Dado a ∛216, temos:
Primeiro efetue a decomposição dos fatores primos:
216 | 2
108 | 2
54 | 2
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1
Depois coloque o resultado da fatoração em potência:
216 = 2.2.2.3.3.3 = 2³. 3³
Por fim, aplique as propriedades da radiação com a potência já aplicada no radical:
