PROFESSORA MIRLEY - PROFESSORA SILMARA - PROFESSORA SIMONE
MATEMÁTICA – 9ºs A /B /C /D
1ª ATIVIDADE – 4º BIMESTRE
REFERENTE AO PERÍODO DE 26 à 30/10/2020
SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS
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Habilidade: EF08MA08- Resolver e elaborar situações problema que possam ser representados por sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
Sistema de Equações
Um sistema de equações é constituído por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita. Para resolver um sistema é necessário encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas as equações.
Um sistema é chamado do 1º grau, quando o maior expoente das incógnitas, que integram as equações, é igual a 1.
Como resolver um sistema de equações do 1º grau?
Podemos resolver um sistema de equações do 1º grau, com duas incógnitas, usando o método da adição.
Método da Adição
No método da adição buscamos juntar as duas equações em uma única equação, eliminando uma das incógnitas.
Para isso, é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam opostos, isto é, devem ter o mesmo valor e sinais contrários.
Exemplo 1
Para exemplificar o método da adição, vamos resolver o seguinte sistema:
Note que nesse sistema a incógnita y possui coeficientes opostos, ou seja, 1 e - 1. Então, iremos começar a calcular somando as duas equações, conforme indicamos abaixo:
Ao anular o y, a equação ficou apenas com o x, portanto agora, podemos resolver a equação:
x = 32 / 4
x = 8
Para encontrar o valor do y, basta substituir esse valor em uma das duas equações. Vamos substituir na mais simples:
x+y= 12
8 + y = 12
y= 12 - 8
y = 4
Assim, a solução para o sistema dado é o par ordenado (8, 4). Repare que esse resultado tornam ambas as equações verdadeiras, pois
8 + 4 =12 e 3.8 = 20
Quando um sistema admite uma única solução dizemos que ele é um sistema possível e determinado.
Exemplo 2
A soma das idades de Leandro e Guilherme são 20 anos. A diferença entre elas são de 6 anos. Qual é a idade de cada um, sabendo que Guilherme é o mais velho?
x= Guilherme
y= Leandro
Perceba que iremos eliminar o termo com a variável y, se somarmos cada um dos termos da primeira equação com o respectivo termo da segunda equação:
x + y = 20
x - y =6
__________
2.x+ 0.y= 26
Agora de forma simplificada podemos obter o valor da incógnita x simplesmente passando o coeficiente 2 que multiplica esta variável, para o outro lado com a operação inversa, dividindo assim todo o segundo membro por 2:
2.x = 26
Agora que sabemos que x = 13, para encontrarmos o valor de y, basta que troquemos x por 13 na primeira equação e depois isolemos y no primeiro membro:
x + y = 20
13 + y = 20
y = 20 - 13
y = 7
Resp: Guilherme tem 13 anos e Leandro tem 7 anos.
Assim, a solução para o sistema dado é o par ordenado (13, 7). Repare que esse resultado tornam ambas as equações verdadeiras, pois:
x+y=20 x-y=6
13+7=20 (V) 13-7=6 (V)
Quando um sistema admite uma única solução dizemos que ele é um sistema possível e determinado.
Exemplo 3
Portanto, Antônio fez 5 pontos e Gustavo fez 1 ponto.
Exemplo 4
Resolva pelo método da adição o seguinte sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas:
SPD ( sistema possível e determinado)
Exemplo 5
Dado o sistema, determine o valor de x e o valor de y:
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3.
Agora, o sistema fica assim:
Adicionando as duas equações:
- 3x – 3y = - 60
+ 3x + 4y = 72
___________________
y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado:
x + y = 20
x + 12 = 20
x = 20 – 12
x = 8
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12). SPD ( Sistema Possível e Determinado).
Exemplo 6
1º Passo: Vamos multiplicar a primeira linha por -2, para cancelarmos o -2x com 2x
-2x -2y=-6
2x +2y=+6
_______________
0.y = 0
Observe que quando temos 0y = 0, podemos considerar qualquer valor para y que mesmo assim, a igualdade se mantém verdadeira. Portanto, Sistema Possível e Indeterminado ( SPI).
Exemplo 7
1º Passo: Vamos multiplicar a primeira linha por -2, para cancelarmos o -2x com 2x
-2x +2y = -6
+2x +2y = -4
_____________
0y = -10
Nesse sistema dizemos que não existem soluções possíveis, isto é, ele não possui par ordenado que satisfaça à condição do sistema de equações. Na resolução do sistema ocorre uma condição inexistente na Matemática. Portanto, Sistema Impossível (SI).
Classificação dos Sistemas de Equações
Possível e determinando;
Possível e indeterminado;
Impossível.
Possível e determinando: um sistema é possível e determinado (SPD), quando possui somente uma solução. Portanto, na resolução geométrica as Retas são Concorrentes.
Possível e indeterminado: um sistema é possível e indeterminado (SPI), quando possui infinitas soluções. Portanto, na resolução geométrica as Retas são Coincidentes.
Impossível: um sistema é impossível (SI), quando não possui nenhuma solução. Portanto, na resolução geométrica as Retas são Paralelas.
Veja o esquema:
EXERCÍCIOS:
1º) Resolva os seguintes sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas pelo método da adição e classifique-os em SPD, SPI ou SI:
b)
c)
2º) A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles é 3. Determinar esses números.
3º) A soma de dois números é 2 e a diferença é 6. Quais são os números?
4º) A professora de matemática do 8º ano desafiou os alunos a determinarem os valores de x e y, em um sistema de equações do 1º grau. Qual é o resultado desse sistema? Podemos afirmar que ele é um sistema SPI?
5º) No zoológico há cisnes e girafas. São 96 cabeças e 242 patas. Quantos são os cisnes? E as girafas?
6º) Duas amigas foram a uma floricultura comprar vasos de flores. Mariana comprou 4 vasos de rosas e 6 vasos de violetas, e gastou um total de R$ 104,00. Sua amiga Ana também realizou a compra de 5 vasos de rosas e 3 vasos de violetas, gastando um total de R$ 89,50. Analise o problema e escreva uma equação que represente o gasto de Mariana e outra que represente o gasto de Ana.
Duas amigas foram a uma floricultura comprar vasos de flores. Mariana comprou 4 vasos de rosas e 6 vasos de violetas, e gastou um total de R$ 104,00. Sua amiga Ana também realizou a compra de 5 vasos de rosas e 3 vasos de violetas, gastando um total de R$ 89,50.
Analise o problema e escreva uma equação que represente o gasto de Mariana e outra que represente o gasto de Ana.
Calcule os valores unitários dos vasos de rosa e de violeta dessa floricultura, utilizando o sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas pelo método da adição.
7º) ( Saresp - SP) Na promoção de uma loja, uma calça e uma camiseta custam juntas R$ 55,00. Comprei 3 calças e 2 camisetas e paguei o total de R$ 140,00.
O sistema de equações do 1º grau que melhor traduz o problema é:
8º) Em um estacionamento havia carros e motocicletas num total de 43 veículos e 150 rodas. Calcule o número de carros e de motocicletas estacionadas.
9º) Num quintal há 100 animais entre galinhas e coelhos. Sabendo que o total de pés é 320, quantas galinhas e quantos coelhos há nesse quintal?
10º) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Quantas galinhas e quantos coelhos há nesse terreno?
Ao finalizar a atividade, tirar as fotos e enviar para:
Profª Mirley professoramirley@gmail.com
Profª Silmara varanisilmara@gmail.com
Profª Simone professorasimone.calvitti@gmail.com
Bons estudos!!
